Polozov Andrey

Определение понятия рейтинг и принципы формирования его шкалы.
Назовем рейтингом смещенный в область целых положительных чисел результат участника всеобщего гипотетического кругового годичного макротурнира.
Это определение может быть реализовано при использовании следующих принципов.
1. Приоритет гола над очком. Информационной основой рейтинга являются названные в официальных правилах соревнований первичные параметры игровой деятельности в виде забитых (З) и пропущенных (П) мячей, голов, количества реализованных действий и т.п..
2. Выбор вида функциональной зависимости. Функция должна:
2.1. Обладать свойством антикоммутативности: F (З,П) = - F (П,З).
2.2. Работать в избранном числовом интервале, а не по всей шкале.
Следует отбрасывать результаты игр между соперниками с разницей в рейтингах более 1000 пунктов. В таких играх не бывает борьбы за результат и более слабые участники получают незаслуженно завышенную оценку, которая искажает соотношение сил. Причем эти искажения обычно велики из-за высокой результативности таких встреч. Если мы хотим узнать реальное соотношение сил между такими участниками, то это необходимо делать через участников с промежуточным уровнем игры, когда борьба за результат более реальна. Если после решения СЛУ в исходных данных найдены результаты встреч соперников с разницей в полученных рейтингах более 1000 пунктов, то их следует исключить и решить СЛУ заново.
2.3. Не выходить за пределы четырех действий арифметики и обеспечить минимальное число арифметических действий при пересчете рейтинга.
2.4. Свести к минимуму суммарную разницу между результатами участников в личной встрече и их общими результатами.
Первые три пункта являются фильтром для функций, последний пункт – условием. В результате перебора множества функций наибольшую сходимость общих и частных результатов показала:

. (1)

Отсутствие этого принципа ведет к неустойчивому поведению рейтинга.

Мы выяснили, что нам нужна такая модель рейтинга, при которой разница в номинальных рейтингов двух соперников и фактическая разница на личную встречу были бы если не равны, то, по крайней мере, максимально близки. Если такой показатель окажется одинаков для нескольких функций сразу, то в этом случае отдадим предпочтение той из них, в которой число арифметических действий минимально. Это необходимо для минимизации работы по пересчету рейтинга. Для этого, в качестве модели, берем таблицу какого-либо кругового турнира. Используем таблицу кругового микротурнира в качестве модели этого макротурнира. Сопоставим результаты в личных встречах и показатели общей результативности в трех видах спорта с различной результативностью. Нас интересует степень сходимости частного результата встречи участников А и В с их общетурнирными достижениями. Если, скажем, А выиграл у В со счетом 3:1, то и общий баланс забитых и пропущенных за сезон мячей у А и В должен иметь сходное соотношение. Если нам удастся найти такую функцию, при которой будет иметь место равенство частного и общего баланса З и П мячей, то задача будет выполнена. Тогда из рядовой встречи А и В можно предположительно назвать их общетурнирную дифференциацию, что позволяет сократить число игр. Все конструктивные аспекты работы должны быть сведены к тому, чтобы обеспечить сходимость модели – соответствие частных и общих результатов. Назовем процентом детерминации (ПД):

. (2)

Подбор функций осуществлялся на основе справочника (Рыбасенко В.Д. и др., 1986); перебором ранее предложенных функций; перебором возможных вариантов наиболее простых конструкций функций через чередование знаков скобок, арифметических действий и забитых (З), пропущенных (П) мячей; пересмотром всех вариантов разложения в ряд элементарных функций. Данные по некоторым видам зависимости приведены в таблице 2. В соответствии с пунктами 2.1-2.4 выберем вид функциональной зависимости и обозначим как Δ:

Коэффициент 1000 задает масштаб шкалы рейтинга. Если после решения СЛУ в исходных данных найдены результаты встреч соперников с разницей в полученных рейтингах более 1000 пунктов, то их следует исключить и решить СЛУ заново.

Таблица 2. Процент детерминации для некоторых функций.

3. Принцип транзитивности утверждает, что если участник А предпочтительнее участника Б по совокупности результатов, а Б аналогично предпочтительнее С также по всей совокупности зафиксированных в течение года результатов, то уровень А выше, чем уровень С. Он позволяет провести макротурнир без обязательной встречи каждого с каждым. Тем самым создается возможность превратить круговой макротурнир в гипотетический, когда можно играть не все игры. Уровень игры, определенный на основе полученной части результатов, экстраполируют на всю сумму игр. Отсутствие этого принципа означает требование встречи каждого участника макротурнира со всеми остальными, что не имеет перспективы.
4. Принцип трансляции в глубину призван обеспечить неизменность, преемственность способа пересчета рейтинга при переходе с макроуровня на последующие нижележащие слои, от уровня команд на уровень составляющих ее игроков, от уровня игроков - на уровень их базовых компонентов игры, и наоборот. Он предполагает возможность замены нескольких соперников одним, им эквивалентным.

При этом . Величина i = (Зi+Пi)(З+П) – доля участия данного результата в общей оценке. По определению рейтинг - число положительное. Поэтому необходимо смещение вверх по числовой шкале на такую величину, при которой рейтинг самого слабого из участников будет величиной положительной:

Аналогично рейтинг команды раскладывается на рейтинги ее игроков. Так, при переходе на каждый следующий слой форма пересчета сохраняется. Отказ от этого принципа приводит к потере взаимодействия между различными уровнями.
5. Принцип асимптотической устойчивости результатов означает возможность получения единственного решения в распределении рейтингов, исходя из полученных результатов независимо от их исходных значений. Наиболее удобным способом реализации этого принципа является составление и последующее решение соответствующей системы линейных уравнений (далее СЛУ). При неравном нулю определителе СЛУ всегда имеет единственное решение. Отсутствие этого принципа приводит к существованию множества решений при одних и тех же результатах макротурнира, что равносильно отсутствию решения как такового. Рассмотрим полностью заполненную таблицу любого произвольного микротурнира. Зачеркнем любую строку, будем считать ее неизвестной. Потерянную информацию можно восстановить по соответствующему столбцу. Это означает, что СЛУ, соответствующая всей таблице, имеет множество решений. Чтобы СЛУ имела единственное решение, необходимо либо заменить в ней любое уравнение некоторым другим, либо просто добавить это уравнение к уже имеющимся. На практике предпочтительнее использовать (n+1) уравнение, определяющее средний рейтинг данного турнира через рейтинги всех (или части) его участников:

Результат: Rt(A)=2200; Rt(B)=2000: Rt(C)=1800. Проверим решение. А выиграл у Б 6:4. Это 200 пунктов. Соответствуют разнице 2200 – 2000. А выиграл у С 7:3. Это 400 пунктов. Соответствует разнице 2200 – 1800.

Можно рассчитать рейтинг по более простой формуле. Разобьем макротурнир на два произвольных микротурнира. Найдем из соответствующих им СЛУ рейтинги участников и объединим результаты на основе принципа трансляции в глубину:

Значение (δ i(j+1) + δ ij) должно соответствовать среднему числу официальных матчей за сезон.

Решим тот же самый практический пример с А, В и С.

Игра А и В:

      В итоге мы получили тот же самый результат: Rt(A)=2200; Rt(B)=2000: Rt(C)=1800. Однако в повседневной жизни такой молниеносной сходимости ожидать не следует. Тем не менее, по итогам сезона результаты последовательного «ручного» пересчета не должны существенно отличаться от решения СЛУ. Таким образом, мы пришли к формуле, аналогичной формуле А. Эло, но уже без магических чисел. Формула А. Эло задает систему линейных уравнений в неявном виде и поэтому может считаться частным случаем построений.
Однако возможен и третий путь – не «ручной» пересчет, и не чистое решение СЛУ. Если участников очень много, турниры носят неритмичный характер, то на некоторых отрезках возможны трудности с решением СЛУ. В этом случае для расчета рейтинга на уровне федерации возможно промежуточное решение. В нем СЛУ решается по итогам отдельных микротурниров, получаются рейтинги всех участников. Далее, на уровне макротурнира, федерации вида спорта в уравнение данного i-го игрока подставляются рейтинги его оппонентов. СЛУ макротурнира решается методом последовательных приближений, что оправдано при очень большом числе участников.
6. Средний рейтинг макротурнира задается таким, чтобы рейтинг самого слабого из участников был величиной положительной. Прогресс множества различных участников не бывает синхронным. Средний рейтинг макротурнира корректируется по изменению средней плотности расположения участников на шкале рейтинга, которая возрастает по логистическому типу зависимости на начальном этапе развития вида спорта. Каждому новому участнику присваивается рейтинг, равный среднему рейтингу макротурнира.
7. Факторная компенсация. Существуют факторы (m), влияющие на итоговый результат и создающие неравные условия для участников. Выявление значения любого фактора предполагает сравнение результатов участника до и после его воздействия при нивелировании всех остальных. Компенсация суммы таких независимых, невзаимодействующих факторов должна быть равна сумме их компенсаций. Тогда официальным итогом соревнований будет рейтинг участника, скомпенсированный по всем выделенным факторам (чужое поле, климат, пол, возраст…):

Примерами факторов, создающих неравенство являются фактор своего поля в играх, фактор белого цвета в шахматах, фактор подачи в теннисе, форы в го. Например, Д. Сонас оценивает преимущество белого цвета в шахматах в 35 пунктов рейтинга. В футболе хозяева забивают гостям вдвое больше мячей. В лыжных гонках преимущество имеет тот, кто стартует позже. Есть очевидное несовершенство формулы проведения финальных соревнований в футболе. Завершающий этап проводится по олимпийской системе. Следовательно, более слабая команда может, играя в глухой обороне, оказывать психологическое давление на соперника послематчевыми пенальти, где, как известно, шансы почти равны у всех. Более сильной команде необходимо идти вперед, раскрываться для того, чтобы избежать послематчевой лотереи. Компенсация симметрична – сколько добавили за игру на чужом поле, столько же отняли у оппонентов.

Условия корректности результатов макротурнира:
1. Отсутствие изолированных микротурниров.
2. Исключение из рассмотрения результатов с разницей Rti – Rtj ≥ 1000.
3. Макротурнир продолжается до момента стабилизации средней плотности результатов.
4. Погрешность определения рейтинга участника 2000 ⁄ (З+П) < ρ должна  быть меньше среднего интервала их расположения
5. Результаты округляются до значений, соответствующих плотности.