Polozov Andrey

ОБОБЩЕННЫЙ ВАРИАНТ СИСТЕМЫ РЕЙТИНГА.

В математике нет символов для неясных мыслей. Анри Пуанкаре.

 Общее представление системы рейтинга

Проблема рейтинга стоит не только в отдельных видах спорта. Это проблема всех «относительных» видов спорта. Главная сложность темы рейтинга в том, чтобы понять – что он собой представляет. Это слово у разных исследователей означало индивидуальный числовой коэффициент, оценку экспертов, занимаемое место, прогноз результатов, «формулу успеха». Если рейтинг – это безотносительный коэффициент, то в этом случае можно делать все что угодно. Можно ввести туда размер обуви или толщину пальца и никто не сможет это оспорить. Ведь рейтинг – это какой-то там коэффициент. Измерять неизвестно что можно неизвестно как. Полная свобода для фантазий. Спорт – это борьба за результат. Результат – это разность забитых (З) и пропущенных (П) мячей, других реализованных действий. Смысл игры – создать положительную разность. Участников можно расположить в порядке убывания создаваемой ими разности в поединке с виртуальным среднестатистическим соперником. Разница в их рейтингах соответствовать фактическим итогам личной встречи. Модель рейтинга должна обеспечивать эту сходимость. Или она не нужна. Для этого следует представлять рейтинг участника как его результат в годичном макротурнире, который в реальной жизни состоит из совокупности микротурниров. Все кто занимается данным видом спорта в Голландии, Франции, России, Грузии, США и других стран сыграли каждый с каждым. Турнир в масштабах одной страны, разбиение на весовые категории – это все примеры прообраза макротурнира. Макротурнир - понятие гипотетическое. Реально в круг его сыграть невозможно. Используем принцип транзитивности – если А весь сезон играл лучше Б, а Б – лучше С, то А в итоговом списке рейтинга будет стоять выше и Б, и С. В этом случае зачем А играть с С? Или транзитивность, или придется макротурнир играть в круг. Из текущих результатов его участника определяют уровень игры, по которому несложно предсказать оставшиеся несыгранными результаты макротурнира. Поэтому смысла играть дальше уже нет. Хотя всегда есть Фома Неверующий, который захочет сыграть и проверить сходимость фактических и прогнозируемых результатов. Или просто он не доверяет судьям и хочет проверить – правильно ли его считают. Определяющую роль в сходимости модели играет вид функциональной зависимости. Именно поиск функции с наибольшей сходимостью в разных видах спорта отнял больше всего времени. В результате удалось хоть и не намного обойти в этом знаменитую таблицу коэффициентов Эло. Сходимость также зависит от формы пересчета. Если мы пишем формулу на одного участника, потом другого, третьего, то мы последовательно выписываем систему линейных уравнений, которая имеет или не имеет решения. Многие схемы расчета (Эло, теннисные классификации) обеспечивают себе относительную спонтанную сходимость за счет подстраховки со стороны фактически получаемой системы уравнений. Рассмотрим пример из шашек. Предположим, что Вы провели в турнире 10 встреч. Если у кого-то из оппонентов нет рейтинга, то ему присваивают среднее значение – 2200. Средний рейтинг Ваших оппонентов, пусть 2500. Вы выиграли 7:3. Ваш рейтинг за этот турнир будет:

Так будут считать рейтинг участники соревнований. Организаторам лучше создать программу, которая будет считать СЛУ с типичным уравнением наподобие последнего примера и ежедневно публиковать результаты в Интернете. Система прозрачна. Любой участник в любой момент может легко проверить организаторов, создав наподобие последнего примера свое уравнение и сверив свой вычисленный рейтинг с официальными данными. Нет необходимости в придумывании произвольно корректируемых коэффициентов, что повышает качество модели. В боксе следует различать бой на дальней, средней и ближней дистанции. Это уже частные компоненты. Если боксер имеет общее соотношение 30:20, распределенное соответственно по дистанции боя – 10:2, 10:10, 10:8, то уже из этого видно, что бой на дальней дистанции явно предпочтительнее. Сходимость общей и частных сумм обеспечивает преемственность общего и частных рейтингов. Они считаются аналогично. С той лишь разницей, что накопление информации спортсмену или его тренеру придется делать самостоятельно. Математически доказано, что нет разницы в результатах, если решать СЛУ в целом по макротурниру или же рассчитывать СЛУ на каждом турнире (компоненте), объединяя полученные результаты пропорционально их удельному весу. Считая частные рейтинги своих соперников, можно рассчитать в них соотношение ударов еще не состоявшейся встречи и сделать корректировки. В борьбе аналогично раскладываются захват, бросок и удержание. Так же можно узнать - кто чемпион в шахматной сицилианской защите. В игровых видах спорта рейтинг команды аналогично раскладывается сначала по игрокам, а потом еще и по компонентам. Разница в рейтингах игроков А и Б соответствует разнице в счете команд, состоящих только из игроков А и только игроков Б.

На сегодня рейтинг – это виртуальный макротурнир. Представьте себе, что Вы захотели вдруг сделать его реальным. За первое место дадут официально золотую медаль, за второе – серебряную. Оппоненты Вам скажут, что только очный турнир претендентов и может выявить реальную расстановку сил. Если Вы все же убедили их, то тут и наступает самый критический момент. Новый сезон все участники всегда и везде начинают с исходно равных позиций. Это значит, что 31 декабря установлен новый чемпион, а уже 1 января рейтинги всех участников вернули в исходные 2200. Плотность результатов – среднее расстояние между соседями в макротурнире – на старте равна нулю. Но постепенно, от тура к туру, она растет. Участники расходятся по полюсам, плотность результатов постепенно стабилизируется. Только отдельные рокировки соседей. Число игр гипотетически можно было бы считать из формулы 2N= K, где К – число команд, а N – число туров. Однако в реальной жизни результат будет отличаться из-за конъюнктуры встреч. Самую серьезную трудность для любой системы рейтинга представляет собой проблема полуизолированных микротурниров. Это если Вы играете в го, живете в небольшом городе, где есть еще 100 спортсменов, и Вы единственный, кто выезжает в другие города для участия в турниры. Если бы все 100 участников раз в год выехали на турниры в другие города, то проблемы бы не было и считали по 2N= K. Но ведь ездит один. Это равносильно тому, что по очереди ездят все. В данном случае к числу уже рассчитанных туров (обычно около 20) надо добавить еще 100. Это если в этом турнире нет внутренних полуизолированных микротурниров. Кроме того, нужно ведь не просто выйти на равновесие, а еще сколько то результатов для усредненной оценки, число которых считается аналогично. Для ранжирования миллиона участников нужно, как минимум, чтобы каждый из них сыграл 20 матчей. При этом встречи участников с разницей 1000 пунктов в дальнейшем будут отброшены. Увеличиваем это число до 30. Таким образом, при наличии полуизолированных микротурниров вместо 20+30 встреч каждому участнику необходимо играть минимум 150. Формула Эло усредняет около 20 последних пересчетов результата и при ее использовании стабилизация наступит года через три. А нам необходима стабилизация за год и все закончится скандалом. Участники не успеют разойтись по полюсам и на первом месте разместятся сразу же, скажем, 150 человек. Придется выдавать 150 золотых медалей, штук 200 серебряных и 120 бронзовых. Так массово осчастливить почти всех соискателей удастся только раз. Второго уже не будет. Рейтинг снова станет виртуальной иконой, а первенство суперлиги – реальной альтернативой. Такой проблемы принципиально нет у СЛУ. Однако мы хотим выяснить – как, используя только ручной пересчет, можно за сезон добиться асимптотического расхождения результатов? От этого зависит – можно считать реальный макротурнир состоявшимся или нет. Есть несколько вариантов. На первой стадии турнира, до такого-то тура (сообщается заранее) участники считают только свой рейтинг по последнему турниру без усреднения его с результатами предыдущих турниров. В этом случае игроки моментально расходятся по всей шкале рейтинга. После заранее оговоренного тура, когда экспериментально удалось установить, что плотность результатов перестала расти, имеющийся рейтинг провозглашается уже не турнирным, а сезонным с удельным весом по всем ранее сыгранным результатам.

Полозов, А.А. Система  рейтинга  в игровых   видах   спорта и единоборствах:  Монография. Екатеринбург: Изд-во УГТУ-УПИ, 1995. 110 с.
Полозов, А.А. Рейтинг в спорте: вчера, сегодня, завтра / А.А.Полозов. – М.:Советский спорт, 2007 – 316с.
www.polozov.nemi-ekb.ru