Polozov Andrey

ПОТЕМКИН Е Л. ЕСТЕСТВЕННЫЙ РЕЙТИНГ

Естественность бывает только врожденной, простоту же надо приобретать. П.Моран

     Закончил факультет Теоретической и экспериментальной физики Московский инженерно-физический институт. В 1974 году защитил кандидатскую диссертацию по радиационной физике. Свыше 200 публикаций на тему рейтинга в центральных изданиях «Правда», «Комсомольская правда» и др. Автор разработки «рейтинга Элекса» (1987 – 1997). Авторские ежедневные передачи на Радио СПОРТ, Радио «Говорит Москва» с 1998 г. Автор и ведущий ежедневных программ «Мир рейтингов», «Кто есть кто». Программист. Любимый вид спорта волейбол. Автор сайта ведение сайта в Интернете

«Рейтинг вообще по определению величина относительная. В случае противоборства двух участников естественно принять определение рейтингов участников как отношение числа их побед и поражений. Для простоты изложения ничьи просто опускаются. В дальнейшем, ничья рассматривается как половинки побед и поражений. Поскольку мы в данном случае имеем дело только с двумя соперниками, то назовем его «парным рейтингом». Сразу же обратив внимание на то, что здесь, в отличие от «пропорционального рейтинга» мы отказываемся от рассмотрения последовательности событий. Для нас серия результатов 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 то же самое, что и серия 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 и означает счет 6 – 4 в пользу одного из соперников. В пропорциональном (народном) рейтинге это совсем не так. Итак, мы можем записать несколько тождественных равенств, выражающих связь парных рейтингов с числом побед и поражений каждого из соперников.

Rij / Rji = Wij/Wji
Здесь Wij = победы i-го соперника над j-ым. Отметим, что абсолютная величина парных рейтингов Rij и Rji не определена и пока не имеет значения. Совершенно одинаковый смысл имеют соотношения рейтингов 2 к 1, 10 к 5 или 300 к 150. Мы имеем только определенное отношение рейтингов. Таким образом, по результатам турнира (нескольких турниров) мы имеем набор парных рейтингов для участников. При этом часть клеток может быть пустой. Ведь не обязательно турнир проводится по круговой системе. Это может быть и швейцарская система, где пары формируются по результатам предыдущих туров. Или олимпийская система, с выбыванием. Это вообще может быть любая комбинация из разных систем. Теперь, для построения ранжира нам необходимо свести такую матрицу к набору чисел (рейтингов) однозначно характеризующих достижения каждого участника по сравнению с его соперниками. Так, чтобы можно было расположить участников в соответствии с их достижениями. В традиционной, очковой системе, в круговых турнирах и швейцарках, ранжирование обеспечивается суммированием набранных очков, приравнивая все победы, ничьи и поражения. При этом ставится жесткое условие одинакового числа партий для всех участников.
Рейтинг участника. Второе определение, которое мы используем в системе е-рейтинга это определение, что рейтинг участника в турнире (турнирах) равен средневзвешенному от всех парных рейтингов данного участника

Ri = Sum Rij * Nij / Ni

Это определение ни сколько не менее обосновано, чем сумма очков в очковой системе. Мы еще не определили абсолютную величину парных рейтингов. Что же будем суммировать? Здесь на помощь приходит известный спортивный принцип – «каждый играет так, как позволяет соперник». На языке математики этот принцип преобразуется в гипотезу, выраженную формулой

Ri – Rij = -(Rj – Rji)

Или словами – Разность между рейтингом участника и его парным рейтингом с данным соперником равна разности между рейтингом этого соперника и его парным рейтингом с данным участником. Эту же гипотезу можно представить в другом виде

Ri + Rj = Rij + Rji
Или словами сумма рейтингов двух участников равна сумме их взаимных парных рейтингов. Гипотезу не доказать логически ее можно только подтвердить или опровергнуть обсчетом реальных турниров или искусственных примеров. Что и будет сделано ниже.
Итак, мы все еще не определили абсолютную величину рейтинга, но, используя эту гипотезу, определили связь между рейтингами и парными рейтингами. Этот прием приводит, после некоторых математических преобразований к формуле, связывающей все рейтинги
Ri * Li = Sum Lji * Rj
Словами эту формулу можно описать так. За каждое поражение участник расплачивается в соответствии со своим рейтингом, а за свои победы получает в соответствии с рейтингом соперника. Ничьи рассматриваются как половинка победы и половинка поражения. Таким образом, при ничьей участники как бы обмениваются рейтингами и, естественно, ничья становится невыгодной для более сильного соперника. Таких формул ровно столько, сколько участников турнира. Для того чтобы получить абсолютные величины рейтингов необходимо ввести одно дополнительное условие. Естественным условием может быть
SUM Ri = N * 1000
Сумма всех рейтингов равна числу участников умноженному на 1000
Эта система линейных уравнений позволяет, в принципе получить аналитическую формулу, связывающую рейтинг команды со всеми результатами турнира. Проведенный выше вывод формулы для рейтингов базировался просто на числе побед. Однако точно также вы можете построить рейтинг «слабости» исходя из числа поражений. При этом формально, математически эти два рейтинга абсолютно симметричны и эквивалентны. Тонкость заключается в «физическом» рассмотрении. Дело в том, что усилия команд направлены на положительный результат. Это и нарушает симметрию при определении числа ошибок ранжирования по тому и другому рейтингам.
При выводе формулы мы не рассматривали вопрос о «весе» побед и поражений, чтобы окончательно не запутать читателя. Опуская детали, приведем сразу общий вид формул для «рейтинга» и «анти-рейтинга»
Ri * (Wi * W + Li * L) = Sum (Rj * (Wji * W + Lji * L))
Ai * (Wi * L + Li * W) = Sum (Ai * (Wji * L + Lji * L))
Вес победы.
Все же нам не уйти от необходимости решить вопрос о количественной оценке самого факта победы. Естественно, что сопоставлять победу мы можем только с поражением. Ничья же всегда рассматривается как половинка победы и половинка поражения. Возможны самые разнообразные варианты числовой оценки итога поединка. Здесь все определяют организаторы и (или участники).
Жесткая оценка (Hard). Использование единицы для оценки победы и нуля для оценки поражения в алгоритме е-рейтинга означает, что победа рассматривается как абсолютное превосходство победителя над побежденным. При этом не важно, каким числом оценивается победа – 1, 2 или 10, важно, что поражение оценивается нулем. При этом возникает ситуация, когда рейтинг победителя не имеет значения для определения изменения рейтингов участников. Все определяется рейтингом проигравшего. Жесткая оценка приводит к тому, что победитель во всех партиях получает «весь призовой рейтинговый фонд». Если два участника каждый выиграл свои поединки, а между собой они не встречались, то призовой фонд делится автоматически пропорционально числу сыгранных партий. При этом все остальные участники получают нулевой рейтинг, независимо от результатов поединков между ними. Это означает, что в данном турнире остальные участники не являются конкурентами лидерам и «на фоне лидеров» просто не являются участниками.
Для того чтобы оценить остальных участников, необходимо просто убрать результаты поединков с лидерами
Традиционная оценка (Traditional). Можно считать, что победа Галкина над Палкиным означает просто, что Галкин имеет 2-й разряд, а Палкин 3-й. Или Галкин мастер, а Палкин кмс. По советской классификации это означает, что Галкин должен в матче с Палкиным набирать 75% очков. И в соответствии с этим победу Галкина мы будем оценивать в 3 очка, поражение Палкина в 1 очко. В этом случае изменения рейтингов на 75% определяется рейтингом проигравшего и на 25% рейтингом победителя.
Равная оценка (Equal). Наконец, можно считать, что победа Галкина над Палкиным достаточно случайна, и их силы равны. Тогда имеет смысл оценку победы максимально приблизить к оценке поражения. В этом случае будем считать, что победа это 1000 очков, а поражение - 999. Однако, свойство Е-Рейтинга таково, что соотношение оценок побед и поражений достаточно слабо влияет на результат ранжирования, а вот сами величины рейтингов, естественно, зависят весьма значительно
Реальная оценка (Real). Возможен и еще «реальный» вариант оценки. В этом случае за оценку победы принимаем число очков победителя турнира, а за оценку поражения число очков последнего участника. Таким образом, мы полагаем, что в одной партии отражается весь турнир.
Е-рейтинг и соотношение оценок
В таблице ниже дано распределение е-рейтинга в «стандартном» турнире из 8-и участников при различных значениях оценки победы. Оценка поражения равна 1. При соотношении 5 к 1 первый оценивается вдвое выше, чем второй.
Таблица 17. Е-рейтинг в стандартном турнире

Как “работает” е-рейтинг ?
Начнем с организации турнира. Современная практика большинства турниров такова: все участники делают одинаковые взносы, которые составляют некий призовой фонд. По итогам турнира, в зависимости от занятых мест участникам вручаются призы. Взносы участников должны определяться по результатам соревнования пропорционально рейтингу слабости R-. Призы распределятся по рейтингу силы R+. Итоговый баланс и определяется общим рейтингом R = R+ + R- Посмотрим, что получится для шахматистов нашей редакции. К счастью в турнир были включены еще трое шахматистов из соседней котельной – Иванов, Петров и Сидоров. Это позволит нам более наглядно продемонстрировать свойства е-рейтинга.
Простейший вариант. Турнир без “ошибок”
Таблица 18. Жесткая оценка победы (Все или ничего)

В жестком варианте система определяет одного победителя и одного проигравшего. Галкин забирает весь приз. А Сидоров платит за всех. А что тут неправильного? Галкин – кмс – по сути сеансер, остальные для него клиенты, и как они там играют друг с другом для него неважно. Пришел, заработал на пиво и ушел. А Cидоров, пошел играть за компанию с Ивановым и Петровым – вот и расплатился за банкет. Здесь уже предполагается, что если Сидоров и проиграл всем, то это не значит, что он второй раз в жизни сел за шахматную доску. А просто были неприятности в котельной. Теперь плата Сидорова за неудачу много меньше – 240 р. Много меньше и призовые Галкина – 240 р. за первое место. Кстати, соотношение призов за первое и второе места 3 к 2 –м.
Таблица 19. «Традиционная» оценкой победы (3 к 1)

Единственная ничья. Жесткое соотношение. Наказание за «гроссмейстерскую» ничью лидера с аутсайдером поистине жестоко. Лидер сразу потерял 280 очков. И только 40 очков идут аутсайдеру – Сидорову. 240 – уходят остальным участникам. При этом 140 получает второй – Палкин. И Сидоров поднимается на четвертую ступеньку. Понятно, что зная «характер» е-рейтинга вряд ли Галкин пойдет на договорную ничью, что было бы вполне естественно при очковой системе.
Таблица 20. Реакция на ничью.

Единственное поражение. Жесткое соотношение
Таблица 21. Единственное поражение.

Галкин расслабился и зевнул коня в элементарной трехходовке. А Сидоров хоть и играл слабо, но в эндшпиле все же провел ферзя. Реакция «жесткого» рейтинга на это событие была просто ужасна. Вместо того чтобы забрать весь призовой фонд турнира 800 р. Галкин довольствуется суммой 369 р. Сидоров за удачу и упорство получит 62 р. – меньше чем средний приз (100 р.) все же он проиграл 6 партий из 7-и. Но выиграл у абсолютного лидера. А больше всех выиграл от этого курьезного результата – Палкин. Уступив лидеру, он выиграл у всех и 215 р. – награда за труд. Остальные участники тоже только выиграли от такого неожиданного результата. При этом Сидоров поднимается на четвертую ступеньку. Интересно, что результат такого исхода курьезной партии неоднозначен для Чалкина, Залкинда, Иванова и Петрова. В рейтинге они выиграли, но в рэнкинге (месте) проиграли, пропустив вперед Сидорова
Единственное поражение. Традиционное соотношение
По сравнению с «жестким рейтингом» случай единственного поражения лидера от аутсайдера оценивается не так драматично. И все же лидер теряет 50 очков. Аутсайдер получает 23 дополнительных очка. Остальные 27 очков потерянные лидерам распределяются между «зрителями». Больше всех – 8 достается второму призеру – Палкину. Сидоров при этом поднимается на 6-ю ступеньку.
Таблица 22. Единственное поражение. Традиционное соотношение.

При использовании «жесткого» е-рейтинга (Победа 1 – Поражение – 0) участник, победивший во всех партиях, получает весь призовой фонд. Это один из стимулов борьбы с ничьими. Ведь единственная ничья «съедает» у победителя почти половину рейтинга. И приравняв приз – е-рейтингу мы заставляем лидера играть на всю мощь до конца. «Мягкий» рейтинг естественно выравнивает соотношение рейтингов и соответственно выравнивал бы соотношение призового фонда. Важно подчеркнуть, что изменение от «жесткого» к «мягкому» варианту е-рейтинга очень мало влияет на распределение мест – Рэнкинг. При этом при увеличении количества участников роль «жесткости – мягкости» возрастает.

Полозов, А.А. Система  рейтинга  в игровых   видах   спорта и единоборствах:  Монография. Екатеринбург: Изд-во УГТУ-УПИ, 1995. 110 с.
Полозов, А.А. Рейтинг в спорте: вчера, сегодня, завтра / А.А.Полозов. – М.:Советский спорт, 2007 – 316с.
www.polozov.nemi-ekb.ru