Polozov Andrey

МАЛЬКОВСКИЙ Д. Г.  РЕЙТИНГ ДЛЯ ВСЕХ.
Радиотехнический институт им. акад. А.Л. Минца
«Теория и практика физической культуры», 1993, №8, с. 37-39
Предлагаемая вниманию читателей универсальная рейтинговая система (УРС) может быть интересна в первую очередь организаторам и руководителям спорта и спортивных мероприятий, а также спортсменам, тренерам, спортивным комментаторам и болельщикам.
УРС призвана определять и гибко корректировать иерархию в любом виде спорта, присваивая или изменяя по результатам соревнований численное значение рейтинга участников. Система может применяться для определения рейтинга спортсмена, команды, тренера, экипажа и пр. и годиться для расчёта рейтинга участников по итогам соревнований, проводимых по любой формуле: матчевая встреча, сеанс одновременной игры, турниры по круговой, олимпийской и любым другим системам. Её можно применять при жеребьёвке, при составлении сборных, при выборе команд и участников для международных соревнований и т.д.
Используя УРС, можно перейти от вычисленных индивидуальных рейтингов к определению интегрального (объединённого) рейтинга фирмы, команды, клуба или группы команд или экипажей, объединённых по какому-то признаку. Производитель автомобилей, мотоциклов, яхт, самолётов, а также владелец конного завода или конюшни и многие другие заинтересованные лица, чья продукция участвует в тех или иных соревнованиях, могут следить, как изменяется рейтинг отдельных видов их продукции по итогам соревнований, и к каким изменениям интегрального рейтинга их фирм это приводит.
Мне хотелось бы сразу перейти к изложению сути УРС, но, как показал первый опыт популяризации, который я предпринял на семинаре технической комиссии Федерации парусного спорта, необходимо предварить её описание несколькими словами.
Принципиальное возражение противников УРС сводилось к тому, что нет необходимости вводить ещё одну систему, если существует хоть далеко не идеальная, но привычная ЕВСК (Единая всесоюзная спортивная классификация). Сразу же хочу успокоить сторонников ЕВСК: УРС не претендует на единственность, не отменяет ЕВСК и поэтому ничем не угрожает нынешним и будущим обладателям разрядов и званий. Более того, может помочь ЕВСК, упростив процедуру классификации, и, кроме того, установить иерархию внутри разряда и звания. Замечу также, что цели и задачи УРС, как уже упоминалось, гораздо шире и выходят далеко за рамки возможностей ЕВСК.
Предлагалось также адаптировать уже существующую систему индивидуальных коэффициентов (рейтингов), принятую у шахматистов. Действительно, эта система наиболее развита на сегодняшний день и исправно служит шахматистам уже не один год, но УРС лишена многих недостатков и имеет ряд преимуществ, как уже упомянутых, так и других, некоторые из которых проявятся при дальнейшем, более подробном описании системы.
Итак, начнём изложение структуры УРС с рассмотрения основного элемента конструкции – формулы вычисления изменений и определения рейтинга участника матчевой встречи. Не углубляясь в подробности математических обоснований, проиллюстрируем путь к формализации результатов с помощью житейских рассуждений. Если А выиграл у В в десять раз больше партий, чем В у А, можно смело предположить, что А играет в десять раз лучше В, и вероятность А выиграть у В, следовательно, в десять раз выше, чем В у А. Это позволит нам сформулировать первую аксиому: отношение рейтингов двух соперников равно отношению вероятностей их выигрыша друг у друга.
Причём эта оценка тем точнее, чем больше число игр. Чтобы избежать случайностей при малом количестве игр в матче, необходимо ввести параметр, учитывающий предысторию.
Все эти рассуждения имеют достаточно строгую математическую интерпретацию, но её изложение вряд ли будет интересно большинству читателей.
Справедливо было бы предположить также, что увеличить свой рейтинг один из участников встречи может только за счёт рейтинга другого участника. Это позволит нам сформулировать вторую аксиому: сумма рейтингов до и после матча сохраняется.
Опираясь только на эти две аксиомы, мы получаем искомую формулу для расчета рейтинга участников матчевой встречи.

Отметим что, если число выигранных партий совпало с числом ожидаемых выигрышей, рейтинг не изменится, и это понятно: противники сыграли так, как и должны были сыграть, и подтвердили свои рейтинги.
Искушённый читатель уже, наверное обратил внимание, что эта формула качественно похожа на известную формулу расчёта рейтинга у шахматистов. Это вселяет надежду, что шахматистам, да и представителям других видов спорта будет нетрудно к ней привыкнуть. Преимущества же её убедят их окончательно:
1. Используемое здесь понятие рейтинга имеет конкретное физическое и математическое наполнение и житейский смысл: отношение рейтингов определяет соотношение сил соперников.
2. Приведённые выше формулы получены при использовании двух аксиом и не требуют никаких предположений.
3. Формула для ожидаемого числа побед качественно похожа на формулу, используемую у шахматистов, но
- во-первых, она имеет конкретный физический и математический смысл: ожидаемое число выигрышей равно вероятности выигрыша, умноженной на общее число игр (из основ математической статистики);
- во-вторых, она верна при любом масштабе рейтингов и соответственно не требует изменения численных коэффициентов при переходе к любому другому масштабу (у шахматистов принято измерять рейтинг в тысячах, а в других вида спорта может быть, удобнее другой масштаб;
- в-третьих, этой формулой просто удобнее пользоваться при расчётах, так как она гладкая во всей области значений рейтингов, тогда как аналогичная формула у шахматистов ломаная.
4. Цена каждой выигранной или проигранной партии не постоянна, а пропорциональна сумме рейтингов участников. Мне кажется это справедливо: чем сильнее участники, тем выше ставка.
5. Описываемая формула может применяться и для более тонкого анализа в тех видах спорта, где существует более дифференцированная система, чем победа, поражение или ничья, а именно: с каким счётом, с каким количеством баллов, в каком раунде или сколько сетов (партий) потребовалось для победы.
6. По этой системе цена выигрыша (выигранной партии, забитого гола и пр.) будет различной при игре с более сильным и менее сильным соперником.
Впрочем, анализ этих формул или сравнение с их аналогами в других системах – сами по себе интересные задачи, но их рассмотрение увело бы нас далеко в сторону от изложения сути УРС. Итак, перейдём к следующему шагу построения УРС с использованием основного, уже рассмотренного нами элемента конструкции. Результат турнира можно интерпретировать как суммарный результат микроматчей с каждым из соперников. При этом, поскольку число игр в микроматчах может быть различным, то и вес результата каждого микроматча в суммарном итоговом рейтинге данного участника должен быть пропорционален отношению числа игр в микроматче к общему числу игр, сыгранных данным участником.

(5)

Здесь Ri – рейтинг i-го участника после турнира (i = 1, М), Rij – рейтинг в микроматче i-го участника с j-м, Nij – число партий, сыгранных i-м участником с j-м участником, Ni – общее число партий, сыгранных i-м участником в турнире, М – количество участников турнира. Эта формула уже существенно отличается от принятой у шахматистов, но, очевидно, она более адекватна действительности, более удобна и более универсальна. Мне кажется, что применять средний рейтинг, вычисленный как среднее арифметическое от рейтингов участников, не очень корректно, особенно если участники сыграли различное число партий друг с другом, сохраняться в общем случае должна не сумма рейтингов до и после турнира, а количество рейтингов, т.е. сумма рейтингов, умноженных на число игр соответствующего участника. В случае матчевой встречи или турнира, где каждый с каждым сыграли одинаковое число партий, это утверждение, очевидно, эквивалентно утверждению о сохранении суммы рейтингов. Иначе следует вычислять и ожидаемый результат турнира, особенно если число сыгранных каждым участником партий неодинаково.
Ожидаемый результат участника будет равен сумме ожидаемых результатов в каждом микроматче.
И, наконец, формула для интегрального рейтинга и комментарии к ней.
Каждый член команды вступает в соревнование со своими индивидуальным рейтингом, который и будет использоваться для расчёта его индивидуального рейтинга после соревнований по уже рассмотренной формуле, а также получает рейтинг своей команды, который и будет использоваться для расчёта рейтинга команды по формуле (если не принадлежит ни к какой команде, то оба его рейтинга совпадают):

,(6)

где: RKi – командный (интегральный) рейтинг i-й команды, RKij – командный рейтинг j-го участника i-й команды, вычисляемый по формуле (5), где индивидуальные рейтинги заменены на командные, NKij – число игр, сыгранных за i-ю команду, NKi – общее число игр, сыгранных i-й командой.
Если каждый участник сыграл одинаковое число игр за свою команду, то её рейтинг после соревнований будет просто средним арифметическим от команды рейтингов, набранных членами команды.
Интересно отметить, что этой формулой можно пользоваться, даже если участники команды выступают в различных видах, например: сравнить рейтинги разных команд по окончании соревнований по лёгкой атлетике, или фигурному катанию, или даже игр Доброй воли, или олимпийских игр.
В заключении я хотел бы кратко остановиться на некоторых из возможных путей внедрения УРС и в этой связи коснуться вопроса об интеграции УРС, ЕВСК и, может быть, других рейтинговых систем.
Первый путь наиболее простой, но и наиболее продолжительный. Можно начать с того, что всем участникам в каком-либо виде спорта присвоить одинаковые или экспертные начальные рейтинги и через несколько лет, после многочисленных соревнований и встреч, рейтинги станут соответствовать действительному положению дел.
Второй путь – проделать ту же процедуру, но использовать протоколы и результаты встреч за прошлые годы. Тогда мы получим действующие рейтинги уже сегодня.
Третий путь применим, к сожалению, только в тех видах спорта и в тех странах, где уже сейчас существует какая-нибудь классификация. В качестве примера приведу переход к рейтингам от ЕВСК в более знакомом мне парусном спорте. Используя формулы УРС и требования по классификации ЕВСК, можно получить следующие соотношения рейтингов для соответствующих разрядов и званий капитана и старшего помощника в крейсерских и парусных гонках:

R2 = R3 x 12/5; R1 = R2 x 8/3; RKMC = R1 x 8/3; RMC = RKMC x 17/6.

Если теперь присвоить какое-то численное значение начальному рейтингу (в нашем случае это рейтинг III разряда - R3), то рейтинги, соответствующие II разряду - R2, I - R1 и звания кандидата в мастера спорта (RKMC) и мастера спорта (RMC), вычисляются элементарно. Более того, по набранному рейтингу можно без труда найти соответствующий разряд или звание.
Естественно, приведённую процедуру взаимного соответствия можно выполнить для любого вида спорта и пользоваться в дальнейшем аналогичными формулами для присвоения разрядов по набранному рейтингу. Можно стать чемпионом страны, когда лидеры отсутствуют из-за участия в чемпионате мира, но нельзя набрать высокий рейтинг, если нет сильных соперников. Может случиться и так, что победитель первенства города получит более высокий рейтинг, чем победитель чемпионата страны, если на первенстве города состав участников сильнее, чем на чемпионате страны. Несправедливо зарабатывать одинаковое число очков за победу над сильным и слабым соперниками, несправедливо терять одинаковое число очков за проигрыш лидеру и аутсайдеру.
Как и во всяком новом деле, представленном впервые и в столь сжатом виде, многие аспекты остались нерассмотренными, а многие возможности и приложения – нераскрытыми. Но, сделано, на мой взгляд, главное: заинтересованным и интересующимся лицам и организациям предложена на рассмотрение новая, безусловно, перспективная, более удобная и более универсальная рейтинговая система.